Petit exercice de probabilité à l'occasion des WSOP

En ce moment se déroule le main event des WSOP (World Series of Poker) à Las Vegas, c'est en quelque sorte le championnat du monde de Poker. Il réunit environ 6300 joueurs et joueuses et ils ne sont plus que 27. Parmi eux, 3 français dont Benjamin Pollak, une vieille connaissance que j'ai pu souvent croiser en table comme à l'extérieur (bon en ce moment c'est plutôt en dehors vu qu'il a atteint des sphères dans lesquelles je ne joue plus).

Ben Pollak

Pour les non-connaisseurs, toute l'attention des médias sera portée sur les 9 derniers joueurs, ce qu'on nomme la table finale. Alors avec 3 français dans les 27 derniers, quels sont les chances d'avoir un français en table finale?

La réponse a l'air simple, pourtant, je vois pas mal de bêtises postées sur les forums poker, l'occasion d'une mise au point. Il est d'ailleurs étonnant que les joueurs qui devraient maîtriser ce genre de notions soient parfois tant à la ramasse. Pour ceux qui ne veulent pas suivre le calcul, qu'ils zappent la prochaine partie et aillent direct au paragraphe solution.

Le calcul

La réponse n'est pas 1/3 ni 1/9 comme j'ai pu le lire parfois. Procédons par étape et nommons P(F) la probabilité
Pour qu'il y ait un français en TF, on a 3 possibilités (on dit évènements en probabilité) :

• A: Exactement 1 Français
• B : Exactement 2 Français
• C : Exactement 3 Français

P(F) = P(A) + P(B) + P(C) la somme des evenements A,B,C. Cela fonctionne car les évènements sont disjoints, c'est à dire qu'on ne peut avoir en même temps A et B, ou A et C. 

On voit bien que ce n'est pas si facile, en réalité, il existe une méthode plus élégante c'est de trouver la proba de n'avoir AUCUN français en TF, et donc P = 1 - P(AUCUN). C'est logique, la probabilité d'avoir un français en TF est 1 moins la proba de n'en avoir aucun. On dit que L'evenement (AUCUN) est complèmentaire de l'évènement (Au moins un français en TF).

Allons y :

Nombre totale de TF possible 

• NT= 27x26x25x24x23x22x21x20x19/(9x8x...x1).

 Cela revient à selectionner 9 joueurs parmi 27 puis à diviser par (9x8x...2x1) car l'ordre ne compte pas. En mathématiques on note 9x8x7x....x2x1 = 9! qui se dit factorielle 9.

Nombre totale de TF possibles SANS FRANCAIS :

• NA =24x23x....17x16/(9!)

Ainsi probabilité de n'avoir aucun français en TF : NA/NF = 27x26x25/18x17x16 = 0.27897436

Et donc PF = 1-P(Aucun) = 72% environ

Solution

Il y a donc 72% de chance d'avoir un français en Table finale des championnats du monde de poker, c'est énorme compte tenu du peu d'inscrit tricolore à la base.

Pour aller plus loin

Il faudrait prendre en compte les tapis de chacun et déduire des lois de probas idoines, mais j'ai pas que ça à faire :)

Pour plus d'infos : Pokernews.com